Year11 MATH 4-1-21Dot Product

The dot product (or scalar product) of two vectors,

$\vec{a}=⟨a_1,a_2⟩$ and $\vec{b}=⟨b_1,b_2⟩$,

is a scalar value calculated as $a_1{b}_1+a_2{b}_2$.

It measures the alignment of vectors, with $\vec{a}\cdot \vec{b}=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos \left(\theta \right)$, and is zero if they are perpendicular. 

Key Definitions and Formulas 

• Algebraic Definition: The sum of the products of corresponding components: $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\dots +a_n{b}_n$.
• Geometric Definition: The product of the magnitudes of the vectors and the cosine of the angle $\theta$ between them: $\vec{a}\cdot \vec{b}=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos \left(\theta \right)$.
• Vector Magnitude: A vector’s dot product with itself equals the square of its magnitude: $\vec{v}\cdot \vec{v}=|\vec{v}{|}^2$. 

Key Properties 

• Scalar Result: The output is a number, not a vector.
• Commutative: $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$.
• Distributive: $\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}$.
• Orthogonal Vectors: If the dot product is 0, the vectors are perpendicular ( $\theta ={90}^{\circ }$).
• Parallel Vectors: The dot product is maximized when vectors point in the same direction ( $\theta =0^{\circ }$). 

Common Uses 

• Finding Angles: $\cos \left(\theta \right)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}$.
• Physics: Calculating work done by a force, $W=\vec{F}\cdot \vec{d}$.
• Projections: Finding the projection of one vector onto another. 

Example Calculation
If $\vec{u}=⟨2,3⟩$ and $\vec{v}=⟨4,-1⟩$, then: $\vec{u}\cdot \vec{v}=(2\times 4)+(3\times -1)=8-3=5$

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2つのベクトルのドット積（またはスカラー積）

2つのベクトル $\vec{a}=\langle a_{1},a_{2}\rangle$と、$\vec{b}=\langle b_{1},b_{2}\rangle$ のドット積（またはスカラー積）は、$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$ として計算されるスカラー値です。

これはベクトルの配置を $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\theta )$ で測定し、ベクトルが直交する場合は 0 となります。

主要な定義と公式

代数的定義：対応する成分の積の和：$a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+…+anbn$

幾何学的定義：ベクトルの大きさとそれらの間の角度 θ の余弦の積：$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\theta )$。

ベクトルの大きさ：ベクトルとそれ自身の内積は、その大きさの2乗に等しくなります。$\vec{v}\cdot \vec{v}=|\vec{v}|^{2}$。

主な特性

スカラー結果：出力はベクトルではなく数値です。

交換法則：$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$。

分配法則: $\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}$。

直交ベクトル: 内積 (dot product) が 0 の場合、ベクトルは直交します ($\theta =90^{\circ }$)。

平行ベクトル: 内積は、ベクトルが同じ方向を向いているときに最大になります ($\theta =90^{\circ }$)。

一般的な用途

角度の計算: $\cos (\theta )=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。

物理学: 力によってなされた仕事の計算 $W=\vec{F}\cdot \vec{d}$。

投影: あるベクトルから別のベクトルへの投影を求める。

計算例 : $\vec{u}=\langle 2,3\rangle$ and $\vec{v}=\langle 4,-1\rangle$ のとき、

　$\vec{u}\cdot \vec{v}=(2\times 4)+(3\times -1)=8-3=5$