Year12-MATH-2-4-3 Earth geometry

In the QLD Year 12 General Mathematics syllabus, Unit 3 is titled “Bivariate data, sequences and change, and Earth geometry“. This unit covers data analysis (bivariate and time series), mathematical sequences (arithmetic and geometric), and the spatial measurement of the globe. 

Earth Geometry and Time Zones 

This topic applies spherical geometry to the Earth to calculate distances and determine time differences. 

• Positioning: Students use latitude (north-south) and longitude (east-west) in degrees and minutes to locate positions relative to the Equator and Prime Meridian.
• Spherical Concepts: Calculations involve great circles (circles that share the Earth’s center, such as the Equator or meridians) and small circles (parallels of latitude other than the Equator).
• Distance Calculations:
  • Along a Meridian (Great Circle): $D=111.2\times \text{angular distance}$.
  • Along a Parallel of Latitude (Small Circle): $D=111.2\cos \left(\theta \right)\times \text{angular distance}$, where 𝜃 is the latitude.
• Time Zones: Calculations are based on longitude differences, where $15^{\circ }$ equals 1 hour of time difference. 

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Arithmetic and Geometric Sequences 

This section focuses on patterns of growth and decay using recursion and general rules. 

• Arithmetic Sequences: These have a common difference (𝑑).
  • Recursive Rule: $t_{n+1}=t_n+d$.
  • General Rule ($n^{th}$term): $t_n=a+(n-1)d$, where 𝑎 is the first term.
• Geometric Sequences: These involve a common ratio (𝑟), used to model exponential growth or decay (e.g., population growth or reducing-balance depreciation).
  • Recursive Rule: $t_{n+1}=r\times t_n$.
  • General Rule ($n^{th}$term): $t_n=a\times r^{n-1}$.

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QLD 12年生一般数学シラバスのユニット3は、「二変量データ、数列と変化、そして地球幾何学」です。このユニットでは、データ分析（二変量および時系列）、数列（算術および幾何）、そして地球の空間測定について学びます。

地球幾何学とタイムゾーン

このトピックでは、球面幾何学を地球に適用し、距離の計算と時差の判定を行います。

位置：生徒は緯度（南北）と経度（東西）を度と分で表し、赤道と本初子午線を基準とした位置を特定します。

球面概念：計算には、大円（赤道や子午線など、地球の中心を共有する円）と小円（赤道以外の緯線）が用いられます。

距離計算：
子午線（大円）沿い：($D=111.2\times \text{角度\距離}$)。
緯線（小円）沿い：($D=111.2\cos (\theta )\times \text{角度\距離}$)。ここで($\theta$)は緯度です。

タイムゾーン：計算は経度の差に基づいて行われます。($15^{\circ }$)は1時間の時差に相当します。

等差数列と幾何数列

このセクションでは、再帰と一般則を用いて、増加と減少のパターンに焦点を当てます。

等差数列：これらは公差($d$)を持ちます。

再帰則：($t_{n+1}=t_{n}+d$)。
一般則（n番目の項）：$t_{n}=a+(n-1)d$（$a$）は最初の項です。

等比数列：公比（r\）を伴い、指数関数的増加または減少（例：人口増加や減価償却）をモデル化するために使用されます。
再帰的規則：$t_{n+1}=r\times t_{n}$
一般則（$n$番目の項）：$t_{n}=a\times r^{n-1}$