Year12- MATH-2-4-4 Growth and Decay in Sequences

In QLD Year 12 Mathematics (both General Mathematics and Mathematical Methods), growth and decay are modelled using sequences to describe how a quantity changes over discrete time intervals. Arithmetic sequences model linear changes (adding/subtracting a constant amount), while geometric sequences model exponential changes (multiplying by a constant factor).

1. Arithmetic Sequences: Linear Growth and Decay 

Arithmetic sequences are used when a quantity increases or decreases by the same amount at regular time intervals. 

• Recursive Form: $V_{n+1}=R{V}_n$
• Explicit Rule: $V_{n}=V_{0}+nd$ (if starting at $V_{0}$) or $t_{n}=t_{1}+(n-1)d$
• Growth (d>0): The quantity increases by a constant amount (𝑑). Examples include simple interest and arithmetic progression.
• Decay (d<0): The quantity decreases by a constant amount ($d$). Example: Straight-line depreciation.
• Graph: Linear/straight line. 

2. Geometric Sequences: Geometric Growth and Decay 

Geometric sequences model situations where a quantity increases or decreases by a constant percentage rate (a common ratio 𝑅). 

Recursive Form: $V_{n+1}=R{V}_n$𝑉𝑛+1=𝑅𝑉𝑛

Explicit Rule: $V_n=V_0{R}^n$ (if starting at $V_0$) or $t_n=t_1{R}^{n-1}$

Growth (R>1): The quantity increases exponentially. Examples: Compound interest, population growth.

Decay (0<R<1): The quantity decreases exponentially. Examples: Reducing balance depreciation, half-life.

Common Ratio (𝑅): Calculated as $1+r$ (for growth) or $1-r$ (for decay), where

$r$ is the percentage rate.

Graph: Exponential curve. 

3. Combined Growth and Decay (First-Order Recurrence Relations) 

In many real-world scenarios, particularly finance, both a percentage change and a flat amount change occur simultaneously. 

• Formula: $V_{n+1}=R{V}_n+d$
• Applications: This models situations like reducing balance loans where interest is added (𝑅) and repayments are made (𝑑). 

Summary Table 

Feature	Arithmetic (Linear)	Geometric (Exponential)
Change Type	Constant amount (𝑑)	Constant percentage ratio (𝑅)
Recursive Rule	$V_{n+1}=V_n+d$	$V_{n+1}=R{V}_n$
Growth Condition	$d>0$	$R>1$
Decay Condition	$d<0$	$0<R<1$
Graph Shape	Straight line	Exponential curve
Examples	Simple interest, straight-line depreciation	Compound interest, reducing balance depreciation

Applications in QLD Year 12 

• General Math: Focuses heavily on using these for financial modelling (simple/compound interest, depreciation, annuities).
• Math Methods: Focuses on the formulas, graphing, and understanding the limiting behaviour ($n\to \infty$) of sequences. 

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QLD 12年生の数学（一般数学と数学的手法の両方）では、数量が離散的な時間間隔でどのように変化するかを記述するために、数列を用いて増加と減少をモデル化します。等差数列は線形変化（一定量の加算または減算）をモデル化し、等差数列は指数変化（一定係数の乗算）をモデル化します。

1. 等差数列：線形増加と線形減少

等差数列は、数量が一定の時間間隔で同じ量だけ増加または減少する場合に使用されます。
再帰形式: $V_{n+1}=R{V}_n$
明示的規則: $V_{n}=V_{0}+nd$ ($V_{0}$ から開始する場合) または $t_{n}=t_{1}+(n-1)d$
増加 $(d>0)$: 数量は一定量 $(d)$ だけ増加します。例としては、単利や等差数列などがあります。
減少 $(d<0)$: 数量は一定量 ($d$) だけ減少します。例: 定額減価償却。
グラフ: 直線。

2. 幾何級数: 幾何級数的増加と幾何級数的減少
   幾何級数は、数量が一定のパーセンテージ (公比 ($R$)) だけ増加または減少する状況をモデル化します。
   再帰形式: ($V_{n+1}=RV_{n}$)
   明示的な規則: ($V_{n}=V_{0}R^{n}$) ($V_{0}$ から開始する場合) または ($t_{n}=t_{1}R^{n-1}$)
   増加 $(R>1)$: 数量は指数的に増加します。例: 複利、人口増加。
   減衰 ($0<R<1$): 数量は指数的に減少します。例: 逓減均衡、半減期。
   公比 $(R)$: 増加の場合は $(1+r)$、減衰の場合は$(1-r)$として計算されます。($r$) はパーセントです。
   グラフ: 指数曲線。
3. 増加と減少の組み合わせ（一次回帰関係）
   多くの現実世界のシナリオ、特に金融の世界では、パーセンテージの変化と一定額の変化が同時に発生します。
   式：($V_{n+1}=RV_{n}+d$)
   応用：これは、利子 $(R)$が加算され、返済 ($d)$ が行われる、残高減少型ローンなどの状況をモデル化します。

要約表

特徴	算術（線形）	幾何（指数）
変化の種類	定額（(d)）	定率（(R)）
再帰規則	$(V_{n+1}=V_{n}+d)$	$(V_{n+1}=RV_{n})$
増加条件	$(d>0)$	$(R>1)$
減少条件	$(d<0)$	$(0<R<1)$
グラフの形状	直線	指数曲線
例：	単利、定額減価償却、	複利、逓減法定額減価償却

QLD 12年生における応用
一般数学：これらを財務モデリング（単利／複利、減価償却、年金）に活用することに重点を置きます。
数学的手法：数列の公式、グラフ作成、および極限挙動 ($n\rightarrow \infty$) の理解に重点を置きます。