Year11- MATH-4-1-2 Vectors in the Plane

Welcome to Year 11! If you’re diving into Specialist Mathematics or Mathematical Methods in Queensland (QCAA curriculum), vectors are about to become your new best friends.

Think of a vector as a mathematical instruction. Until now, you’ve mostly dealt with “scalars”—numbers that only tell you how much (like 5 kg of apples or a temperature of 25°C). Vectors are cooler because they tell you two things at once: how far and in what direction.

1. The Basics: Magnitude and Direction

In the Cartesian plane (your standard $x$ and $y$ grid), a vector is represented as an arrow.

Magnitude: This is the length of the arrow (how far).
Direction: This is where the arrow is pointing.

Imagine you are telling a friend how to get from the school gate to the tuckshop. You wouldn’t just say “walk 50 meters.” You’d say “walk 50 meters East.” That’s a vector.

2. How We Write Them (The Notation)

Queensland teachers are big on correct notation. You’ll see vectors written in a few ways:

Bold letters: $\mathbf{u}$ or $\mathbf{v}$ (common in textbooks).
Arrow notation: $\vec{AB}$ (meaning the path from point $A$ to point $B$ ).
Column vectors: $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ . This is like a GPS coordinate. The top number tells you how many units to move horizontally, and the bottom tells you how many to move vertically.
Unit Vector Form: x𝐢+y𝐣x\mathbf{i} + y\mathbf{j}.
- $\mathbf{i}$ is one step in the $x$ direction.
- $\mathbf{j}$ is one step in the $y$ direction.

Example: If $\mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j}$ , you go 3 steps right and 2 steps up.

3. Vector “Math” (It’s easier than it looks)

You can do arithmetic with vectors, but it’s more visual than regular algebra.

Adding Vectors (The “Tip-to-Tail” Rule)

To add vector $\mathbf{a}$ and vector $\mathbf{b}$ , you place the “tail” of $\mathbf{b}$ at the “tip” of $\mathbf{a}$ . The result (the resultant vector) is the shortcut from the very start to the very end.

Scalar Multiplication

If you multiply a vector by a regular number (a scalar), you just change its length.

$2\mathbf{v}$ is twice as long as $\mathbf{v}$ , pointing the same way.
$-1\mathbf{v}$ is the same length, but pointing in the exact opposite direction.

4. Calculating the Magnitude (Size)

Since vectors on a plane form a right-angled triangle with the $x$ and $y$ axes, we use our old friend Pythagoras to find the length.

For a vector $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ , the magnitude (written as $|\mathbf{v}|$ ) is:

$\mathbf{|\text{v}|} = \sqrt{x^2 + y^2}$

5. Why do we bother?

In the Queensland syllabus, you’ll use these to solve real-world problems involving:

Velocity: A plane flying North at 500 km/h while a wind blows East at 50 km/h.
Force: Two people pulling a rope in different directions.
Geometry: Proving things about shapes using midpoints and diagonals.

Pro-tip from a friendly AI: Always draw a diagram. Even if you think you see the answer in your head, drawing the arrows helps prevent those “silly” direction mistakes that haunt Year 11 exams.

6. Practice problem on how to find the angle (direction) of a vector using trigonometry.

Great choice! In the Queensland curriculum, finding the “direction” of a vector usually means finding the angle $\theta$ it makes with the positive $x$ -axis (going anticlockwise), or sometimes expressed as a bearing.

Let’s look at a classic exam-style problem.

The Problem

Find the direction of the vector $\mathbf{v} = 4\mathbf{i} + 3\mathbf{j}$ .

Step 1: Sketch it

Before touching your calculator, visualize the vector. Since both components are positive, the vector moves 4 units right and 3 units up. This puts us in the first quadrant.

Step 2: Identify your triangle

By drawing a line from the tip of the vector down to the $x$ -axis, you create a right-angled triangle where:

The Adjacent side (along the $x$ -axis) is 4.
The Opposite side (parallel to the $y$ -axis) is 3.

Step 3: Use the Tangent Ratio

In trigonometry, $\tan(\theta) = \frac{\text{Opposite}}{\text{Adjacent}}$ . For vectors, this is always:

$\tan(\theta) = \frac{y}{x}$

Substitute our values:

$\tan(\theta) = \frac{3}{4}$

Step 4: Solve for $\theta$

To find the angle, use the inverse tangent function ( $\tan^{-1}$ ) on your calculator:

$\theta = \tan^{-1}(0.75)$

$\theta \approx 36.87^\circ$

The Verdict: The direction of vector $\mathbf{v}$ is approximately $36.87^\circ$ from the positive $x$ -axis.

⚠️ The “Year 11 Trap”: Watch your Quadrants!

The formula $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ works perfectly in the first quadrant. However, if your vector was $\mathbf{u} = -4\mathbf{i} + 3\mathbf{j}$ (Second Quadrant), your calculator might give you a negative number or a confusing result.

Queensland Tip: Always draw your sketch first.

If your vector is in the 2nd Quadrant: Calculate the angle inside the triangle, then subtract it from $180^\circ$ .
If your vector is in the 3rd Quadrant: Add your angle to $180^\circ$ .
If your vector is in the 4th Quadrant: Subtract your angle from $360^\circ$ (or use a negative angle).

[Image showing vectors in all four quadrants and how to calculate their true angles from the positive x-axis]

Practice Challenge for you:

If you have a vector $\mathbf{w} = -5\mathbf{i} – 5\mathbf{j}$ , it’s pointing diagonally down into the third quadrant.

Can you guess what the angle from the positive $x$ -axis would be before doing the math? (Hint: think about a $45^\circ$ angle added to $180^\circ$ ).

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Would you like me to show you how to convert these angles into Compass Bearings (like $045^\circ$ or $N30^\circ E$ ), which often pops up in Specialist Maths?

[Yes, please.]

In Queensland maths, especially when you get into the applications of vectors (like navigation or physics), you’ll often be asked to give your answer as a Bearing instead of just an angle from the $x$ -axis.

There are two main types you need to know: True Bearings and Compass (Quadrant) Bearings.

1. True Bearings ( $T$ )

This is the standard used in aviation and shipping.

Starting Point: Always North ( $000^\circ$ ).
Direction: Always clockwise.
Format: Always written with three digits (e.g., $045^\circ T$ ).

The Conversion Secret:

On your Cartesian plane, “North” is the positive $y$ -axis ( $90^\circ$ ). If your math angle is $\theta$ , the True Bearing is usually $90^\circ – \theta$ .

[Image comparing Cartesian angles (anti-clockwise from East) vs True Bearings (clockwise from North)]

2. Compass (Quadrant) Bearings

These describe the direction by starting at North or South and “turning” towards East or West.

Format: [Start Direction] [Angle] [Turn Direction]
Examples: $N 30^\circ E$ (Start North, turn (Start South, turn $20^\circ$ West).

Worked Example: Converting our Vector

Let’s use our vector from before: $\mathbf{v} = 4\mathbf{i} + 3\mathbf{j}$ .

We found the mathematical angle was $36.87^\circ$ (measured from the $x$ -axis/East).

To find the True Bearing:

North is $90^\circ$ on our grid.
East is $0^\circ$ on our grid.
Our vector is $36.87^\circ$ “up” from East.
The gap between North and our vector is: $90^\circ – 36.87^\circ = 53.13^\circ$ .
True Bearing: $053.13^\circ T$ .

To find the Compass Bearing:

Look at the diagram. Is the vector closer to North or South? North.
Is it leaning towards East or West? East.
The angle from North toward East is $53.13^\circ$ .
Compass Bearing: $N 53.13^\circ E$ .

[Image showing how a vector in the first quadrant is converted into both True and Compass bearings]

Summary Table for the 4 Quadrants

Quadrant	Vector Example	Cartesian Angle (θ)	True Bearing (T)
1st (NE)	$4\mathbf{i} + 3\mathbf{j}$	$36.9^\circ$	$90 – 36.9$ $= \mathbf{053.1^\circ T}$
2nd (NW)	$-4\mathbf{i} + 3\mathbf{j}$	$143.1^\circ$	$450 – 143.1$ = $\mathbf{306.9^\circ T}$ *
3rd (SW)	$-4\mathbf{i} – 3\mathbf{j}$	$216.9^\circ$	$450 – 216.9 =$ $\mathbf{233.1^\circ T}$
4th (SE)	$4\mathbf{i} – 3\mathbf{j}$	$323.1^\circ$	$450 – 323.1 =$ $\mathbf{126.9^\circ T}$

*Note: A quick hack for True Bearings is $True = (450 – \theta) \pmod{360}$ . But honestly? Just drawing the picture and looking at the “North” line is much safer!

Pro-Tip for Exams

If a question mentions “a bearing of…”, change your brain to “Clockwise from North” mode immediately. Many students lose marks because they calculate the correct angle but from the wrong starting line.

Would you like to try converting a “Third Quadrant” vector (where both $x$ and $y$ are negative) to see if you can nail the bearing?

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I11年生へようこそ！クイーンズランド州の専門数学や数学的手法（QCAAカリキュラム）を学ぼうとしているなら、ベクトルはあなたの新しい親友になるでしょう。

ベクトルを数学的な指示と考えてみましょう。これまでは主に「スカラー」、つまり量（例えば5kgのリンゴや25℃の温度など）だけを示す数値を扱ってきました。ベクトルは、距離と方向の2つのことを同時に示してくれるので、より分かりやすいです。

1. 基本：大きさと方向

直交平面（標準座標 $ｘ$ と $y$ グリッド）では、ベクトルは矢印で表されます。

大きさ: 矢印の長さ（距離）です。
方向: 矢印の向きです。

学校の門から売店までの行き方を友達に教えていると想像してみてください。「50メートル歩く」とは言いません。「東に50メートル歩く」と言うでしょう。これがベクトルです。

2. ベクトルの書き方（表記法）

クイーンズランド州の教師は正しい表記法を重視しています。ベクトルはいくつかの方法で表記されます。

太字： $\mathbf{u}$ または $\mathbf{v}$ （教科書でよく使われます）。
矢印表記： $\vec{AB}$ （ $A$ 点から $B$ 点への経路を意味します）。
列ベクトル： $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ 。これはGPS座標のようなものです。上の数字は水平方向に何単位移動するかを示し、下の数字は垂直方向に何単位移動するかを示します。
単位ベクトル形式： $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$ 。
$\mathbf{i}$ は $x$ 方向への1歩です。
$\mathbf{j}$ は $y$ 方向への1歩です。

例： $\mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j}$ の場合、右に3歩、上に2歩進みます。

3. ベクトルの「数学」（見た目より簡単です）

ベクトルを使って算術演算を行うことはできますが、通常の代数よりも視覚的に理解しやすくなります。

ベクトルの加算（「先端から末尾まで」のルール）

ベクトル $\mathbf{a}$ とベクトル $\mathbf{b}$ を加算するには、 $\mathbf{b}$ の「末尾」を $\mathbf{a}$ の「先端」に置きます。結果（結果ベクトル）は、 $\mathbf{a}$ の最初から $\mathbf{b}$ の最後までの近道です。

スカラー乗算

ベクトルに通常の数（スカラー）を乗算する場合は、ベクトルの長さを変えるだけです。

$2\mathbf{v}$ は $\mathbf{v}$ の2倍の長さで、同じ方向を向いています。
$-1\mathbf{v}$ は同じ長さですが、正反対の方向を向いています。

4. 大きさ（大きさ）の計算

平面上のベクトルは、 $ｘ$ 軸と $ｙ$ 軸を持つ直角三角形を形成するため、長さを求めるにはおなじみのピタゴラスの定理を使います。

ベクトル $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ の場合、大きさ（ $|\mathbf{v}|$ と表記）は次のようになります。

\mathbf{|\text{v}|} = \sqrt{x^2 + y^2}

5. なぜ必要なのか？

クイーンズランド州のカリキュラムでは、これらの定理を用いて、次のような現実世界の問題を解きます。

速度: 北へ500km/hで飛行する飛行機と、東へ50km/hで吹く風。
力: 2人が異なる方向にロープを引く。
幾何学: 中点と対角線を用いて図形に関する事柄を証明する。

親切なAIからのアドバイス: 必ず図を描きましょう。たとえ頭の中で答えが分かっていると思っても、矢印を描くことで、高校3年生の試験でよくある「おかしな」方向の間違いを防ぐことができます。

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クイーンズランド州のカリキュラムでは、ベクトルの「方向」を求めるということは、通常、正の $x$ -軸（反時計回り）との角度 $\theta$ を求めることを意味し、ときには方位で表されることもあります。

典型的な試験形式の問題を見てみましょう。

問題

ベクトル $\mathbf{v} = 4\mathbf{i} + 3\mathbf{j}$ の方向を求めなさい。

ステップ1：ベクトルをスケッチする

電卓を使う前に、ベクトルを視覚化しましょう。両方の要素が正なので、ベクトルは右に4単位、上に3単位移動します。これにより、第1象限に入ります。

ステップ2：三角形を特定する

ベクトルの先端から-軸まで線を引くと、以下の条件を満たす直角三角形が作成されます。

隣接辺（ $x$ -軸に沿った）は4です。
対辺（ $y$ -軸に平行な辺）は3です。

ステップ3：正接比を使う

三角法では、 $\tan(\theta) = \frac{\text{Opposite}}{\text{Adjacent}}$ です。ベクトルの場合、これは常に次のようになります。 $\tan(\theta) = \frac{y}{x}$

値を代入します。 $\tan(\theta) = \frac{3}{4}$

ステップ4： $\theta$ を解きます。

角度を求めるには、電卓の逆正接関数（ $\tan^{-1}$ ）を使用します。

$\theta = \tan^{-1}(0.75)$

$\theta \approx 36.87^\circ$

結論： ベクトルの方向は、正の $x$ -軸から約 $36.87^\circ$ です。

⚠️「高校3年生の落とし穴」：象限に注意！

この公式 $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ は第1象限では完璧に機能します。しかし、ベクトルが $\mathbf{u} = -4\mathbf{i} + 3\mathbf{j}$ （第2象限）の場合、電卓は負の値や混乱を招く結果を表示する可能性があります。

クイーンズランド州でのヒント： 必ず最初にスケッチを描きましょう。

ベクトルが第2象限にある場合：三角形の内側の角度を計算し、それを $180^\circ$ から引きます。
ベクトルが第3象限にある場合：角度を $180^\circ$ に加えます。
ベクトルが第4象限にある場合：角度を $360^\circ$ から引きます（または負の角度を使用します）。

[4つの象限すべてにあるベクトルと、それらの正のx軸からの真の角度の計算方法を示す画像]

練習問題：

ベクトル $\mathbf{w} = -5\mathbf{i} – 5\mathbf{j}$ がある場合、それは斜め下向きに第3象限に向かっています。

計算を始める前に、正のx軸からの角度がどれくらいになるか推測できますか？ (ヒント： $180^\circ$ に角度 $45^\circ$ を足すことを考えてみてください。)

これらの角度を、専門数学でよく出てくるコンパス方位（ $045^\circ$ や $N30^\circ E$ など）に変換する方法をお教えしましょうか？

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クイーンズランド州の数学、特にベクトルの応用（航海や物理学など）では、 $x$ -軸からの角度だけでなく、方位で答えを求められることがよくあります。

知っておくべき主な方位の種類は2つあります。真方位とコンパス（四分儀）方位です。

1. 真方位 ( $T$ )

これは航空と船舶で使用される標準です。

出発点: 常に北 ( $000^\circ$ )。
方向: 常に 時計回り。
書式: 常に3桁で表記します（例: $045^\circ T$ ）。

変換の秘訣:
直交座標平面では、「北」は $y$ -軸の正方向 ( $90^\circ$ ) です。数学的な角度が $\theta$ の場合、真方位は通常 $90^\circ – \theta$ です。

[直交座標（東から反時計回り）と真方位（北から時計回り）の比較画像]

2. コンパス（四分儀）方位

これは、北または南から東または西に向かって「回転」することで方向を表します。

形式: [開始方向] [角度] [回転方向]
例: (北から開始、東に $30^\circ$ 回転) または (南から開始、西に $20^\circ$ 回転)

実例: ベクトルの変換

先ほど使用したベクトル $\mathbf{v} = 4\mathbf{i} + 3\mathbf{j}$ を使用します: 。
数学的な角度は $36.87^\circ$ ( $x$ -軸/東から測定) であることがわかりました。

真方位を求めるには:

北はグリッド上 $90^\circ$ にあります。
東はグリッド上 $0^\circ$ にありますか。
ベクトルは東から $36.87^\circ$ 「上」にあります。
北とベクトルの差は , $90^\circ – 36.87^\circ = 53.13^\circ$ 。
真方位: $053.13^\circ T$

コンパス方位を求めるには:

図を見てください。ベクトルは北に近いですか、南に近いですか? 北。
東に傾いていますか、西に傾いていますか? 東。
北から東への角度は $53.13^\circ$ です。
コンパス方位: $N 53.13^\circ E$

[第1象限のベクトルが真方位とコンパス方位の両方に変換される様子を示す図]

4象限の概要表

象限	ベクトルの例	直交角 ( $\theta$ )	真方位 ( $T$ )
第1象限 (北東)	$4i + 3j$	$36.9^\circ$	$90 – 36.9 =$ $\mathbf{053.1^\circ T}$
第2象限 (北西)	$-4i + 3j$	$143.1^\circ$	$450 – 143.1 =$ $\mathbf{306.9^\circ T}$ *
第3象限 (南西)	$-4i – 3j$	$216.9^\circ$	$450 – 216.9 =$ $\mathbf{233.1^\circ T}$
第4象限 (南東)	$4i – 3j$	$323.1^\circ$	$450 – 323.1 =$ $\mathbf{126.9^\circ T}$

*注：真方位を求めるための簡単な裏技は $True = (450 – \theta) \pmod{360}$ です。でも正直に言うと？絵を描いて「北」の線を見る方がずっと安全です！

試験対策のヒント

問題に 「方位…」 と書かれていたら、すぐに「北から時計回り」モードに切り替えましょう。多くの受験生は、正しい角度を計算しても間違った出発点から計算してしまうため、失点してしまいます。

「第三象限」ベクトル（ $x$ と $y$ が両方とも負）を変換して、方位を正確に計算できるか試してみませんか？

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