Year11-MATH-3-1-3-JP

第3章：微分の応用

第2章では、曲線の傾きを決定するための微分（$f′(x)$）を求める方法を学びました。ここでは、このスキルを実際の問題に適用します。傾きがゼロになる点を見つけることで、関数の最高点と最低点を特定できます。このプロセスは最適化と呼ばれます。

3.1 停留点

停留点は、関数の傾きがゼロ（$f′(x)=0$）になる点に発生します。これらの点では、曲線の接線は完全に水平になります。

停留点には主に3つの種類があります。

1. 極大値：丘の「頂上」。傾きが正から負に変化します。

2. 極小値：谷の「底」。傾きが負から正に変化します。

3. 停留変曲点：曲線は一時的に平坦になりますが、その後は同じ方向に進み続けます。

3.2 点の性質の判定

停留点が極大点か極小点かを判断するには、符号表を用いて点の直前と直後の勾配を調べます。

x	a−ϵ (直前)	a (点)	a+ϵ (直後)
f′(x)	正 (+)	0	負 (-)
形状	/	—	\
結論		極大値

3.3 増加関数と減少関数

関数が区間内で増加している場合、$f′(x)>0$ です。
関数が区間内で減少している場合、$f′(x)<0$ です。

例題 1: 停留点の求め方 $f(x)=x3−3x$ の停留点の座標と性質を求めます。

微分します: $f′(x)=3×2−3$
0 に設定します: $3×2−3=0→3×2=3→x2=1→x=1,−1$
y座標を求めよ: > * $f(1)=(1)3−3(1)=−2$。点は($1,−2$)である。
$f(−1)=(−1)3−3(−1)=2$。点は($−1,2$)である。

性質のテスト($x=1$の場合):
$x=0$を確認せよ: $f′(0)=−3$ (負)。
$x=2$を確認せよ: $f′(2)=3(4)−3=9$ (正)。
負 → 0 → 正の順となるので、($1,−2$)は局所最小値である。

3.4 最適化の実践

最適化とは、「最良の」値(例えば、最大面積や最小コスト)を見つけるプロセスである。

戦略:

1. 最適化したい変数(例えば、面積 A)について方程式を作成する。
2. 方程式には独立変数が1つだけ含まれていることを確認する(代入が必要になる場合がある)。
3. 方程式を微分する。
4. 導関数をゼロにして解きなさい。

例題2：面積の最大化

農家が直線の壁に沿って長方形の牧草地を作るために、$40m$の柵を設置しました（柵が必要なのは3辺だけです）。面積が最大となる寸法を求めなさい。

1. 壁に垂直な辺を$x$、平行な辺を$y$とします。
2. 制約条件：$2x+y=40→y=40−2x$
3. 面積の公式：$A=x×y=x(40−2x)=40x−2x^2$
4. 微分：$\frac{dA}{dx}=40−4x$
5. ゼロに設定：$40−4x=0→4x=40→x=10$
6. $y$を求めなさい：$y=40−2(10)=20$
7. 解答：寸法は$10m×20m$で、最大面積は$200m²$です。

3.5 練習問題
パートA：停留点

1. $f(x)=x2−6x+8$ の停留点を求め、その性質を判定せよ。
   
2. $y=2×3−9×2+12x$ について、極大値と極小値の座標を求めよ。

パートB：区間

3. $f(x)=x^2−4x$ が減少関数となる区間を求めよ。

パートC：最適化

4. 発射体の高さは$h(t)=30t−5t^2$ で与えられる。ここで $t$ は時間（秒）である。到達する最大高さを求めよ。
5. 課題：底面が正方形で上面がない箱の体積は $32 cm^3$ である。表面積を最小にする底面の辺の長さ (x) を求めよ。(ヒント：$V=x^2h, SA=x^2+4xh$)。

解答（まとめ）

1. $f′(x)=2x−6→x=3$。点は (3,−1) である。これは局所最小値です。
2. $y′=6x^2−18x+12=6(x−1)(x−2)$。($1,5$)で最大値、($2,4$)で最小値。
3. $f′(x)=2x−4$。$2x−4<0→x<2$のとき、減少します。
4. $h′(t)=30−10t=0→t=3$秒。$h(3)=45m$。
5. $h=\frac{32}{x^2}$ $SA=x^2+4x(\frac{32}{x^2})=x^2+\frac{128}{x}$。$SA′=2x−\frac{128}{x^2}=0→x^3=64→x=4cm$。