Year11-MATH-3-1-5-JP

第5章：三角関数

これまで三角法は三角形について学んできました。数学的手法では、円関数 を扱います。正弦関数と余弦関数を無限に繰り返す波として扱うことで、潮汐、音波、季節による気温の変化といった周期的な現象をモデル化することができます。

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5.1 ラジアン測定

三角関数の微積分を行う前に、度ではなくラジアン を使用する必要があります。ラジアンは単位円に沿った弧の長さを測定します。

• 変換: $π radians=180∘$
• ラジアンへの変換: $\frac{π}{180}$を掛ける
• 度への変換: $\frac{180}{π}$を掛ける

注意: この科目で微積分を行う際は、必ず電卓が RAD モードになっていることを確認してください。

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5.2 単位円

単位円は、原点 (0,0)を中心とし、半径が1の円です。円上の任意の点(x,y)が角度θを持つ場合、次のようになります。

*$x=cos⁡(θ)$
*$y=sin⁡(θ)$
*$tan⁡(θ)=\frac{sin⁡(θ)}{cos⁡(θ)}$

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5.3 正弦関数と余弦関数のグラフ

正弦関数$y=sin⁡(x)$と余弦関数$y=cos⁡(x)$は周期波を生成します。私たちはしばしばこれらの変換版を学びます。$y=Asin⁡(B(x−C))+D$

• **$A$ (振幅):** 中心からの波の高さ。
• ** $B$(周期係数):** 周期 ($P$) を求めるために用いられます。周期は1周期分の距離です。$P = \frac{2π}{B}$
• **$C$ (位相シフト):** 水平方向の移動。
• **$D$ (平均高さ):** 垂直方向の移動（新しい中心線）。

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5.4 三角関数の微分

微積分学において最も注目すべきパターンの一つは、正弦関数と余弦関数が互いの傾きとどのように関係しているかです。

• 正弦の微分: $\frac{d}{dx}(sin⁡(kx))=kcos⁡(kx)$
• 余弦の微分: $\frac{d}{dx}(cos⁡(kx))=−ksin⁡(kx)$

演習問題 1: 微分 $f(x)=4sin⁡(2x)+3cos⁡(x)$
を微分する。

1. $4sin⁡(2x)$を微分する: ($2x$) 内の微分は 2 である。したがって、$2×4cos⁡(2x)=8cos⁡(2x$ )となる。
2. $3cos⁡(x)$を微分する: $cos⁡$の微分は $−sin$である。したがって、$−3sin⁡(x)$ となる。
3. 最終解答: $f′(x)=8cos⁡(2x)−3sin⁡(x)$となる。

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5.5 練習問題

パート A: ラジアンと正確な値

1. $60^∘$と $225^∘$をラジアンに変換する（ $π$については $π$のままにする）。
2. 単位円を用いて、 $sin⁡(\frac{π}{2})$と $cos⁡(π)$の正確な値を求める。

パート B: グラフ機能

3. 関数について: $y=5sin⁡(2x)+1$

• 振幅を述べる。
• 周期を計算する。
• 関数の値域を述べる。

3. 関数$y=cos⁡(Bx)$の周期が $π$の場合、$B$の値を求めなさい。

パート C: 微積分

5. $y=sin⁡(4x)$の微分を求めなさい。
6. $f(x)=cos⁡(5x)+x2$の微分を求めなさい。
7. チャレンジ: $x=π$となる点における曲線$y=sin⁡(x)$の傾きを求めなさい。

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解答（まとめ）

• 1. $\frac{π}{3}, \frac{5π}{4}$、
• 2. $sin⁡(\frac{π}{2})=1, cos⁡(π)=−1$、
• 3. 振幅 = 5 ; 周期 = $\frac{2π}{2} = π$ ; 範囲 = $[−4,6]$ (中心は 1 で、上下に 5 ずつ変化します)。
• 4. ( $\frac{2π}{2}=π$なので)。$B=2$
• 5. $4cos⁡(4x)$
• 6. $−5sin⁡(5x)+2x$
• 7. $x=π$,$cos⁡(π)=−1$ において、$y′=cos⁡(x)$ 。傾きは -1 です。

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