Year11-MATH-3-1-4 Chapter4 Exponential and Logarithmic Functions-JP

第4章：指数関数と対数関数

これまでの章では、$x^2$ や $x^3$のような多項式関数に焦点を当ててきました。第4章では、変数が 指数 である関数について考察します。これらの関数は、人口増加、放射性崩壊、複利のモデル化に不可欠です。

---

4.1 指数関数と数$e$

指数関数は $f(x)=a^x$の形をとります。しかし、数学的手法では、主に 自然指数底 である $e$に焦点を当てます。

• 定数$e$ : はおよそ $2.71828$です。関数の勾配は、どの点においても関数の値と完全に一致するため、$f(x)=ex$ は唯一の数です。
• 漸近線: $y=ex$ のグラフは – 軸に接することはなく、$y=0$ で水平漸近線を持ちます。

---

4.2 対数関数

対数は指数関数の 逆数 です。$y=ex$ ならば $x=ln⁡(y)$です。

• $ln⁡(x)$** (自然対数):** これは $e$を底とする対数です。
• 定義域と値域: 負の数またはゼロの対数はとれません。したがって、$f(x)=ln⁡(x)$ の場合、定義域は $x>0$です。

---

4.3 対数法則

$e$および $ln$を含む方程式を解くには、対数法則を習得する必要があります。これらの法則は底に関わらず同じですが、自然対数で最もよく用いられます。

1. 積の法則: $ln⁡(ab)=ln⁡(a)+ln⁡(b)$
2. 商の法則: $ln⁡(\frac{a}{b})=ln⁡(a)−ln⁡(b)$
3. べき乗の法則: $ln⁡(a^n)=nln⁡(a)$
4. 逆の性質: および $ln⁡(e^x)=x and\ e^{ln⁡(x)}=x$

例題 1: $x$を解く
$5e^{2x}=20$を解きます。

1. $5e^{2x}$を 5 で割ります。$e^{2x}$$=4$
2. 両辺の自然対数をとります。$ln⁡(e^{2x})=ln⁡(4)$
3. 逆の性質を使用します。$2x = ln(4)$
4. $x$を解きます。$x=\frac{ln⁡(4)}{2}≈0.693$

---

4.4 $e^x$と$ln(x)$ の微分

微積分は $e$を底とする場合に非常に簡潔になります。

• ** $e^x$ の微分 $: \frac{d}{dx}(e^{kx})=ke^{kx}$** (基本的に関数は同じですが、指数の微分を掛けます。)
• ** $ln(x)$ の微分 $: \frac{d}{dx}(ln(x))=\frac{1}{x}$ :**

演習例 2: 微分
$f(x) = e^{5x} + ln(x)$を微分します。

1. $e^{5x}$を微分します。べき乗 ($5x$) の微分は 5 です。結果: $5e^{5x}$。
2. ln(x) を微分します。結果:　$\frac{1}{x}$。
3. 最終解答: $f′(x)=5e^{5x} +\frac{1}{x}$。

---

4.5 練習問題

パート A: 代数と対数法則

1. $2ln⁡(x)+ln⁡(y)$を簡約します。
2. $x: ex−3=10.$を解きます。
3. $x: ln⁡(2x)=5$を解きなさい。

パート B: グラフと特徴

4. $f(x)=ex+4$の水平漸近線を描きなさい。
5. $g(x)=ln⁡(x−2)$の $x$ 切片を求めなさい。(ヒント: $y=0$を設定して$e0=1$を思い出しなさい。)

パート C: 微積分

6. $y=3e2x−4×2$　の導関数を求めなさい。
7. $x=5$となる点における$f(x)=ln⁡(x)$曲線の傾きを求めなさい。
8. チャレンジ: $x=0$となる点における $f(x)=ex$への接線の方程式を求めなさい。

---

解答 (まとめ)

• 1. $ln⁡(x^2y)$
• 2.$x=ln⁡(10)+3≈5.30$
• 3. $x = \frac{e^5}{2} ≈ 74.21$
• 4. $y = 4$
• 5. $0=ln⁡(x−2)→e^0=x−2→1=x−2→x=3$。点は (3,0)。
• 6. $\frac{dy}{dx} = 6e^{2x} – 8x$
• 7. $f′(x)=\frac{1}{x}$。 $x = 5$において、傾きは $\frac{1}{5}$または 0.2。
• 8. $f′(0)=e^0=1$ (傾き)。 において、点は (0,1). 正接: $y−1=1(x−0)→y=x+1$。

---