2nd Study

Year11-MATH-3-1-2 JP

Chapter 2: Introduction to Differential Calculus 微分積分入門

第1章では、静的な関係について考察しました。第2章では、変化の数学である微積分学へと進みます。「物体はどこにあるのか？」と問うのではなく、「この瞬間、物体はどれくらいの速さで動いているのか？」と問うようになります。

2.1 The Concept of a Gradient 勾配の概念

線形関数（y=mx+cy = mx + c）では、勾配は一定です。直線上のどこにいても、「急峻さ」は同じです。しかし、f(x)=x2f(x)=x^2のような曲線では、急峻さは常に変化します。

Secants vs. Tangents

  • Average Rate of Change (Secant):曲線上の 2 つの異なる点を結ぶ線の勾配。
  • Instantaneous Rate of Change (Tangent):曲線に一点で接する直線の勾配。これが微積分の核心です。

2.2 The Derivative Function 微分関数

「微分」とは、任意のx値における接線の傾きを表す式です。主に2種類の表記法を用います。

  1. Leibniz’s Notation ライプニッツ記法: ​dydx\frac{dy}{dx} (「yのxに関する微分」と読む).
  2. Lagrange’s Notation ラグランジュの表記法: f′(x)f′(x) (read as “f prime of x”).

2.3 The Power Rule べき乗則

べき乗則は数学的手法において最も重要な近道です。複雑な「第一原理」の限界に頼ることなく、あらゆる多項式関数の微分を求めることができます。

The Power Rule

If f(x)=xnf(x)=x^{n}, then: f′(x)=nxn−1f′(x)=nx^{n−1}

Steps to differentiate:

  1. Multiply the coefficient by the current power (n). 係数を現在のべき乗（nn）に掛けます。
  2. Subtract 1 from the power. べき乗から1を引きます。

べき乗則（べきじょうそく）とは、ある量が別の量のべき乗に比例する（ Y=aXkY = aX^kの形で表される）という関係で、自然界や社会現象で広く見られる法則です。少数の要素が極めて大きな値（影響力や頻度など）を持ち、多くの要素は小さい値に留まるという、「一部に偏る」非対称な分布を示すのが特徴で、SNSのフォロワー数、都市の人口、地震の大きさ（グーテンベルグ・リヒター則）、収入分布（パレートの法則）などで観測されます。 

べき乗則の主な特徴 

  • 数式表現: Y=aXkY = aX^k( aa は定数、kk はべき指数）。
  • 分布の偏り: 少数の「ビッグ」な事象と、多数の「スモール」な事象が存在する。
  • 両対数グラフでの直線性: グラフを両対数（対数-対数）スケールで描くと、直線関係として現れる。
  • 普遍性: 異なる分野（物理、経済、生物学など）の現象で、同じようなパターンが見られることがある。 

身近な例 

  • SNSのフォロワー数: 一部の有名人が膨大なフォロワーを持ち、ほとんどの人は少ないフォロワー数。
  • 都市の人口: 一部の大都市に人口が集中し、多くの地方都市は人口が少ない。
  • 地震の規模: 小さな地震は頻繁に起こるが、巨大地震は非常にまれ。
  • 単語の出現頻度: 使用頻度の高い単語は少なく、低い単語は非常に多い（ Zipfの法則として知られる）。 

なぜ重要か
べき乗則を理解することで、データに隠された構造や、システム全体の振る舞いを予測・分析するのに役立ちます。複雑なシステムが階層的であり、特定の普遍的な仕組みによって支えられていることを示唆する重要な概念です。 

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オーストラリアの11年生数学指導法（および専門科目）では、べき乗則はべき関数（xnx^n）の微分を求めるための基本的かつ最も一般的に用いられる近道です。これにより、生徒は面倒な「第一原理」による極限定義を毎回使用することなく、勾配関数 dydx\frac{dy}{dx} (または）f‘(x)f‘(x) を計算できます。

>> The Power Rule Formula 

If f(x)=xnf(x)=x^n , then the derivative is: ddx(xn)=nxn−1 \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n−1}

Where is any real number.

If the term has a constant coefficient , such as f(x)=axnf(x)=ax^n , the rule is: ddx(axn)\frac{d}{dx}(ax^n) = anxn−1anx^{n-1}

Multiply the exponent by the coefficient, then subtract 1 from the exponent. 

>> Step-by-Step Application 

  1. Identify nn: Look at the power of xx.
  2. Bring it down: Multiply the entire term by this power (nn).
  3. Reduce it: Subtract 1 from the original power (n−1n-1). 

Example 1: Simple Power

y = X5X^5

dydx=5x5–1=5x4\frac{dy}{dx} = 5x^{5–1} = 5x^4

Example 2: Coefficient and Power

y=4x3y = 4x^3

dydx=(3x4)x3−1=12x2\frac {dy}{dx} = (3×4)x^{3-1} = 12x^2

>> Key Applications in Year 11

多項式: べき乗則は各項に個別に適用されます (和則)。

  • Example: ddx(3x2+5x+2)=6x+5\frac{d}{dx}(3x^{2}+5x+2)=6x+5 .
  • 負の指数（逆数）: 分母の項に使用されます。
  • Example: ddx(1x2)=ddx(x−2)=−2x−3=−2x3\frac{d}{dx}(\frac{1}{x^{2}})=\frac{d}{dx}(x^{-2})=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^{3}} .
  • 分数指数（根）：平方根などに使用されます。
  • Example: ddx(x)=ddx(x1/2)=12x−1/2=12x\frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{d}{dx}(x^{1/2})=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • 定数ルール: 定数の導関数は 0 です。
  • Example: ddx(10)=0\frac{d}{dx}(10)=0.
  • 線形項: の導関数は aaです。
  • Example: ddx(7x)=7\frac{d}{dx}(7x)=7.

>> Key Requirements & Common Pitfalls 主な要件とよくある落とし穴

  • 準備: べき乗則を適用する前に、指数規則 ( 1/xn=x−n1/x^{n}=x^{-n} および xnm=xn/m\sqrt[m]{x^{n}}=x^{n/m}) を使用して、分母内またはルート記号の下の式を書き直す必要があります。
  • 負の数: 負の指数の場合は、負の値が大きくなることを覚えておいてください (たとえば 、x−2x^{-2} の導関数は −2x−3-2x^{-3} です)。
  • 簡略化: 乗算後は必ず数値係数を簡略化します。

注: NSW HSC およびオーストラリアの他の管轄区域では、べき乗則は通常、限界と第一原理の研究に続いて、正式な差別化への第一歩として 11 年生で導入されます。

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Constants and Linear Terms 定数と線形項

  • Constants: The derivative of a constant 定数：定数の導関数 (e.g., f(x)=5f(x)=5) is 0. (A flat line has no steepness).
  • Linear Terms: The derivative of f(x)=ax is simply a. 線形項：f(x)=axの導関数は単純にa

Worked Example 1: Differentiating a Polynomial Differentiate.f(x)=4x3−2x2+5x−7f(x) = 4x^3 – 2x^2 + 5x – 7

  1. Term 1 (4x34x^3): 3×4=12, then 3−1=2. Result: .
  2. Term 2 (−2x2−2x^2): 2×−2=−4, then 2−1=1. Result: −4x.
  3. Term 3 (5x5x): Gradient of is simply 5.
  4. Term 4 (−7): Derivative is 0.

Final Answer: f′(x)=12x2−4x+5f'(x) = 12x^2 – 4x + 5

2.4 Finding the Gradient at a Point 点における勾配の計算

Once you have the derivative function (f′(x)), you can find the exact steepness of the curve at any x-coordinate by substituting the value into the derivative. 微分関数 (f′(x)) を取得したら、その値を微分に代入することで、任意の x 座標における曲線の正確な傾きを求めることができます。

Worked Example 2: Finding a Specific Gradient Find the gradient of the curve at the point where .

  1. Find the derivative: dydx\frac{dy}{dx} ​= 2x+3.
  2. Substitute x=2: 2(2)+3=7.
  3. Interpretation: At the point (2,10), the curve is rising at a rate of 7 units up for every 1 unit across.点（2,10）では、曲線は1単位横方向に伸びるごとに7単位上昇する。

2.5 Practice Problems 練習問題

Part A: Basic Differentiation 基本的な微分

Differentiate the following with respect to x: 次の式をxについて微分せよ

1. f(x)=x5f(x) = x^5

2.y=10x2−4xy = 10x^2 – 4x

3.g(x)=13x3+5g(x) = \frac{1}{3}x^3 + 5

4.f(x)=8x−2f(x) = 8x – 2

Part B: Gradients at Points

  1. Find the gradient of f(x)=2x2−5f(x) = 2x^2 – 5 at x=3x = 3
  2. For the curve y=x3−2xy = x^3 – 2x , find the coordinates where the gradient is equal to 1.
  3. Challenge: If f(x)=ax2+4xf(x)=ax^2+4x and f′(1)=10f'(1) = 10 , find the value of aa.

Solutions (Summary)

  • 1. 5x45x^4
  • 2. 20x−420x – 4
  • 3. x2x^2
  • 4. 8
  • 5. f′(x)=4xf'(x) = 4x. At x=3x=3, gradient = 12.
  • 6. dydx=3x2−2\frac{dy}{dx} = 3x^2 – 2. Set to 1: 3x2−2=1→3x2=3→x=±13x^2 – 2 = 1 \rightarrow 3x^2 = 3 \rightarrow x = \pm 1. Points are (1,−1) and (−1,1).
  • 7. f′(x)=2ax+4f'(x) = 2ax + 4. So, 2a(1)+4=10→2a=6→a=32a(1)+4=10→2a=6→a=3.



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