Year11-MATH-3-1-1-JP

第1章：代数と関数
この章では、数学的手法に必要な代数的能力を確立します。
基本的な計算から一歩踏み込み、変数間の関係、パターンの性質、関数の幾何学に焦点を当てます。

1.1 等差数列と幾何数列

「メソッド」では、数列を離散関数として扱い、入力は位置nとします。

等差数列: 連続する項の差が定数(d)である数列。

ｎ番目の項: $t_n = a + (n-1)d$

ｎ番目の項までの合計：　$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$　

幾何数列：各項が前の項に定数比(r)を掛けて求められる数列。

ｎ番目の項: $t_n = ar^{n-1}$

ｎ番目の項までの合計：　 $S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$ (where $r\ne 1$)

例題1：等差数列の12番目の項を求めよ：3,6,12,24,…

a（最初の項）とr（公比）を特定せよ：a=3、r=2。

公式　$t_n = ar^{n-1}$を用いる：$t_{12} = 3 \times 2^{(12-1)}$

計算せよ：$t_{12} = 3 \times 2^{11} = 3 \times 2048 = 6144$

1.2 二次関数と判別式

二次関数は $f(x)=ax^2+bx+c$ の形をとります。「方法論」では、特に根の性質（グラフが x 軸と接する点）に注目します。

判別式 (Δ)

二次関数の平方根の下の部分 $Δ=b^2−4ac$ は、x 軸切片がいくつ存在するかを示します。

Δ>0: 異なる実根が 2 つ（グラフは x 軸と 2 回交差します）。
Δ=0: 実根が 1 つ（グラフは折れ点で x 軸と接します）。
Δ<0: 実根は存在しません（グラフは x 軸と決して接しません）。

1.3 関数の表記、定義域、値域

これは重要な概念の転換です。出力が入力に依存することを強調するために、「y =」ではなく「$f(x) =$」と書き始めます。

定義域: 関数が定義されるすべての x 値（入力）の集合。
値域: 関数が生成できるすべての y 値（出力）の集合。

例題 2: $f(x)=x^2+3$ の定義域と値域を述べよ。

定義域: 任意の実数を二乗できるので、定義域は x∈ℝ（すべての実数）である。
値域: x2 は常に ≥ 0 なので、f(x) が取り得る最小値は 0+3=3 である。したがって、値域は $f(x)≥3$ である。

1.4 練習問題
パートA：数列

1. 等差数列 5,11,17,… の最初の20項の和を求めよ。
2.ある等比数列は a=10 かつ r=0.5 である。5番目の項と無限大までの和を求めよ。

パートB：二次方程式と代数

3. 判別式を用いて、$2x^2−4x+7=0$の解の個数を求めよ。
4. $x$ を因数分解して $x^2−5x−14=0$ を解け。
5. 課題：$x^2+6x+k=0$ がちょうど1つの実数解を持つような k の値を求めよ。

パートC：関数

6. $f(x)=3x^2−5x$ のとき、$f(2)$ と $f(−1)$ を求めよ。
7. $g(x) = -x^2 + 10$ の範囲を求めよ。

解決策（概要）

1.$S_{20}=1240$

2. $t_5=0.625$、$S_∞=20$
3. Δ=-40;本当の解決策はありません。
4. (x−7)(x+2)=0→x=7,−2
5. Δ=36−4k=0→k=9
6. $f(2)=2$、$f(−1)=8$
7. $g(x)≤10$